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张振富:谈高中数学教学中的思维教学

谈高中数学教学中的思维教学
张振富
(河北省三河市第二中学)
我们的高中数学教学,教师给足学生以“火把”把知识正确地,全面地,甚至高密度地传授给学生,仅仅如此,他们是否能够走出“山洞”。有专家如是说“当一个人把所学的知识都忘了以后,还保留下来的正是教师要教给学生的。”保留下来的是什么呢?就是能力,是思维素质。知识会随时间的推移而遗忘,而科学的思维能力和分析解决问题的能力却会长久地保留下来。
思维是一种反应。数学思维力求近似到一种非条件反射,比如吃饭自然就有拿筷子和碗,而不需刻意去记着吃饭就要有筷子,有碗。高中数学本身的特点,摒弃了单调的记忆和机械的计算,更多的是一此理性化的东西,故只有丢弃固有的框架,让学生思维不受到束缚,他们才能在知识的黑洞里畅游。
下面就自已在教学中的体会,以高中数学认识过程为例,进行一些探讨:
一、已有知识,包括定义,定理,公式的正确处理
教学中重视知识的形成过程的教学,使学生在掌握知识的思维实践中既获得了知识, 又 得到思维训练。学生往往认为学习定义,定理,公式等只要记熟就行了,对定理的证明,公式的推导很少能给以足够的重视;教师也往往只重视让学生把定义,定理,公式正确地,全面地接受下来,而不去探讨它们的由来和实质,课堂上认真地,严格地对每一个定理加以证明,对每一个公式给以推导,忽略证明和推导的原因。这样学生只会机械的记公式,套定理,而会忽视了运用的前提,条件。例如,求数列1x, x2,…,xn,…的前n项和,学生会毫不犹豫地应用等比数列前项和公式Sn=■,得出结果Sn=■。其一,忽视该公式应用的条件q≠1,而在本题中公比q有可能为1,此时,得到一常数列,其前项和是Sn=n;其二,忽视等比数列的条件:等比数列中,其公比和数列中的项不可能为0,而本题中x可以为0,得数列1,0,0,——,其前n项和Sn=1an 。加深理解“等比数列(公比q≠1 )的前项和公式Sn=■”后,面临这类问题不会顾此失彼了。
二、精心设计课堂教学,用连系的方法教学,同时,训练学生的思维
我们说一个稍微用功的学生,在课堂上听懂教师讲的课并不难,仿照例题解几道题也完全可以,但是要用学过的知识去解决一个新的问题就不是轻而易举的了。故必须放弃"前提--结论"式的教学,而用以思维为主流,以链结式的学生的思路展开。例数列概念一节的教学,概念较多。如不注重思维引导,只顾孤立地呈现,学生是必会象猴子下山,摘了西瓜,丢了芝麻,也可能会有似象非象之感,我在教学中按下面的方式进行,比较适当。先由集合的概念→ 引入数列概念→ 列举出课本中的几个数列→ 对比集合的特点→ 结合实例归纳出数列的特点→对比集合中的元素→ 引出数列中的项→ 由此得出其序号→ 由序号与项的对应→ 联想到映射→ 一一映射,函数→ 数列与其序号构成一个函数→ 联想到函数的定义域→ 它的定义域是正整数集或它的一个子集→ 有限数列,无限数列,即数列的分类;函数→ 函数的图象→ 由定义域的特性,得出是一群孤立的点;函数→ 函数解析式→ 通项公式概念→ 分析出一个简单数列的通项公式→ 由通项公式写出数列中的前几项→ 看事实,悟规律→ 由前几项写出一个通项公式,(有的可写出不只一个通项公式,有的却写不出通项公式)整个过程都是联系对比所学知识,很自然引出新的问题,既突出了重点,又化解了难点,并且把所有知识一串而成。真可谓一气哈成。
三、数学的综合运用上
应顺应学生的思维去挖掘,而不是强加给学生以解题模式,框架,束缚学生的思维,让他们自己去感受,去体会,去领悟,例题的讲解追求的不是解题过程写得多么详细,而是解题的思维过程,这样学生才不会单纯摹仿,不会缺乏独立分析问题的能力,遇到新问题不会觉得束手无策。例设{an}的前项和S (n=1,2,---),a ,b是常数,且b≠0 。
(1),证明{an}是等到差数列;
(2),证明以(an,■-1)为坐标的点Pn(n=1,2…)都落在同一条直线上,并写出此直线的方程。
分析并推导:要证明数列{an }是一等差数列,就是要得出an-an-1=常数,此时显然要求出an的通式,而an可由an=Sn-Sn-1 得,故an=Sn-Sn-1=na+n(n-1)b-(n-1)a-(n-1)(n-2)b=---2nb+a-2b此时猛然发现这里n只能取的数n≥2,这样得到的是通项中从第二项开始后各项,那么首项到哪里去找呢?噢,原来在用an=Sn-Sn-1 时就忽略了条件n≥2,而由Sn得an本身就还包含着a1=S1这样一个“祖”。是以学生自然补充这一点,并验证a1符合an(n≥2),最后由前述分析,得证。整个过程做到让学生自己去发现问题,自己去寻找答案。针对第二个问题,学生开始也是感到非常棘手的。首先是从知识结构上,一下子就从数列跳到畏难的平面解析几何;第二要证明的点不是一个,二个或多个具体的点在一条直线上,而是无数个抽象的点。显而易见,不可能一个,一个去求,只有寻找某个规律性的东西才行。回到具体的坐标点,细思量,发现至少可以确定第一个点(a1,■-1)即(a1,a1-1)其他的点呢确实不好找了,这时,可先放一放,回到如何证明点共线的问题,是要得出每两点所确定直线的斜率相等。如此,我们要求多少个斜率,用组合数来求要有个。似乎走到了一个死胡同,规律是什么?不就是很多归结为一个吗。这里的无数个点能否用一个点表示呢。这不就是通式(an ■-1)吗?对呀!然后它(们)与第一个点所确定直线的斜率是一个固定的,即为一常数。问题终于豁然开朗。峰回路转,有学生发问,这里用到求斜率,那它是否有斜率呢?题目中并没有指明。
四 注重学生形象思维的能力的培养
思维能力不仅指抽象的逻辑思维,也包括着蕴含"轻捷灵活"的形象思维,即常说的数形结合思想,上面第四点的实例已把它演绎得淋漓尽致。再例对于等差数列前n项和公式Sn=■na1+■■n■+(a■-■)n,是关于n的不含常数项的二次函数,对应的图象是一过原点的抛物线,
故由其特性,若Sn=Sm ,可知:
(1), S■取最大值(或最小值)(若为m+n奇数,取接近的相邻的整数);
(2), Sm+n为0。
总之,加强引导学生思维 ,鼓励创新。益,是深远的。


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