未来教育家杂志封面

国际刊号:ISSN2095-4514

国内刊号:CN 10-1044/G4

邮发代号:80-572

主管:教育部

主办:中国教育学会

《未来教育家》杂志社编辑出版

联系我们

投稿邮箱:wljyjqk@.163.com

网    址:www.wljyj.com

从剖析一道中考压轴题浅谈初中数学思想的渗透 魏学珍

     

从剖析一道中考压轴题浅谈初中数学思想的渗透

魏学珍   乌鲁木齐市第103中学

摘要:通过剖析乌鲁木齐市2016年初中毕业生学业水平数学测试中的24题(压轴题)中蕴含的数学思想,来浅析在初中数学教学中数学思想渗透的必要性,以及简单阐述在初中教学过程中渗透数学思想的方法。

关键词:压轴题  数学思想

   数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的的结果。数学思想是数学活动的指导思想,是从整体和思维更高层次上指导学生有效地认识数学本质,运用数学知识发现、完善数学知识结构,探寻解题的方向和途径。初中数学课堂教学中,数学思想处于隐含、渗透的阶段,所以在平时的教学中,教师应注意对学生数学思想的渗透和培养,使学生数学能力得到提升。

初中阶段常用的数学思想有:化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数思想与方程思想等。

化归思想不仅是一种重要的解题思想,也是一种最基本的思维策略,更是一种有效的数学思维方式。是将一个问题由难化易,由繁化简,由复杂化简单的过程,在数学解题中无处不在。数形结合思想是把数学中的“数”和数学中的“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想,是将抽象数学语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。分类讨论思想是把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决的数学思想。函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是妙用函数思想的关键。方程的思想,是对于一个问题用方程解决的应用,也是对方程概念本质的认识,是分析数学问题中变量间的等量关系,构建方程或方程组,或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。方程思想是动中求静,研究而运动中的等量关系。方程与函数关系密切,方程问题也可以转化为函数问题来求解,反之亦然。

近年来,中考数学试题特别重视数学思想方法的考察。现在我从剖析乌鲁木齐市2016年初中毕业生学业水平数学测试中的24题(压轴题)来谈谈初中数学思想谈渗透。

 

 

如图1,抛物线经过点M(-1,0),顶点为C。

(1)   求点C的坐标;

(2)   设直线与抛物线交于A,B两点(点A在点B的左侧);

①  在抛物线的对称轴上是否存在点G,使∠AGC=∠BGC?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由;

②  点P在直线上,点Q在抛物线上,当以点O,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点Q的坐标。

此题是在二次函数背景下的一道综合题,从第(1)问,第(2)问中的①②,难度逐渐上升。考查用待定系数法求直线和抛物线的表达式、平行四边形的性质和综合应用。

1.      具体考查的知识点是:二次函数的解析式、抛物线顶点坐标、一元二次方程的解法、  对称轴、平行四边形的定义等。

2.      本题是压轴题、分类讨论题。

3.      本题解析和其中考查的数学思想方法

    由题知,抛物线过点M(-1,0),可以运用函数和方程的思想将点M(-1,0)代入抛物线解析式,求出抛物线解析式中的常数项,得到该函数解析式为,为解本题做好铺垫。这一步将题目中待定的未知数代入和已知数的等量关系中,建立方程(组)求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用。该步骤也体现了化归的思想,函数与方程间的转化。

(1)   将函数解析式(一般式)运用化归思想,转化为(顶点式)的形式,从而得到该抛物线的顶点坐标C(1,4)。

(2)   ①题目要求在抛物线的对称轴上找到点G,使∠AGC=∠BGC。表面上看来是找点G,实际上是找点B关于对称轴的对称点。点G就是直线与对称轴的交点。因为点G在抛物线的对称轴上,并且∠AGC=∠BGC,找到点B关于对称轴的对称点,根据等腰三角形“三线合一”的性质得到,等腰△,从而得到点G。该过程用到了化归思想中的几何问题代数化,将要解决的几何问题,在坐标系内通过观察分析,类比联想思维过程转化为已有知识范围内容易解决的代数问题。学生化归思想的培养,要求教师在平时的教学中,让学生掌握基础知识,基本技能、基本方法,对课本中的定理、公式、法则深刻理解,对例题、习题中所渗透的思想,解题思路进行总结和提炼,培养学生的化归意识。而在具体解答过程中又用到了函数与方程思想,将与联立,得到。点关于对称轴的对称点设直线的方程为。将题目中待定的未知数代入和已知数的等量关系中,建立方程(组)求出未知数的值。

                    得         

                         

   所以,令,得  G(1,6)如图2

③  点P在直线上,点Q在抛物线上,当以O、M、P、Q为顶点的四边形的平行四边形式,求点Q的坐标。由题目可以看出,平行四边形的位置并不确定,这就引起了分类讨论,要根据平行四边形的性质全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解。设P(m,2m)

A.      当四边形OMPQ为平行四边形,则Q(m+1,2m),

      ∵点Q在抛物线上,

∴,解得       

     ∴

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B.  当四边形OMQP为平行四边形,则Q(m-1,2m),

   ∵点Q在抛物线上,

  ∴,解得m=0和2

   ∴由于点Q在抛物线上,所以舍去。

 

C.当OM为平行四边形对角线时,则Q(-1-m,-2m)

∵点Q在抛物线上

∴,解得m=0和-2

∴由于点Q在抛物线上,所以舍去

  ∴

分类思想不能通过几节课的教学就可以让学生掌握并且很好的应用。而是要根据学生的年龄特点和学习各阶段的认知水平,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵,从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。

教学中可以从以下几方面,让学生在学习数学的过程中,通过类比、观察、分析、综合、讨论,形成对分类思想的主动应用。

(1)   根据学生学习各阶段的认知水平,逐年级渗透分类思想,养成分类的意识

(2)   在教学中慢慢渗透学习分类方法,增强思维的缜密性

(3)   引导学生分类讨论,提高解题的综合能力

通过这道中考压轴题可以看出,命题者很重视数学思想方法的考查,且一道题会涉及到几种不同数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的基础知识中。因此在平时的教学中,要注意体会,归纳教材中的数学方法和数学思想的渗透。

在初中数学教学中如何渗透数学思想呢?首先在基础知识(如概念性质、定理和公式)教学中渗透数学思想方法。数学概念是进行数学推理的依据,是建立数学定理、法则和公式的基础,也是形成数学思想方法的出发点。其次是通过教材中的范例和解题教学,运用数学思想方法。在教学时,教师做好解题和反思活动是非常有必要的,每次完成一类数学问题和范例的教学就要向学生总结归纳解题方法,形成数学思想。再者及时小结,内化数学思想。数学思想是隐含在教材的知识点中的,一个知识点或一道题可能蕴含多种不同的数学思想方法。教师在讲解完一个知识点或一道题时,要向学生解释题目中蕴含的数学思想,并且及时做到数学思想在不同题目中的归类和小结。同时让学生学会归纳、反思和总结数学思想,有意识的在学生脑海中内化数学思想,做到举一反三,触类旁通。最后,在解决数学问题时,使学生不断加深数学思想。在探究数学问题中,引导学生学会思考,真正领会问题中的思想方法并能灵活应用。

因此教学中数学思想方法的渗透是非常有必要的。我们在教学中不能只注重讲授表层知识,而不注重数学思想方法渗透的教学,这样做不利于学生对所学数学知识的真正理解和掌握,学生的知识水平难以提高;也不能只单纯强调数学思想和方法,而忽略基础知识的教学,就会使教学流于形式,学生难以理解深层知识的内涵。因此数学思想应渗透在数学基础知识的教学中。只要我们教师课前精心备课,课上精心组织,充分发挥学生的主体地位,在讲授好数学基础知识的同是,向学生逐步渗透数学思想方法,就能使学生真正的学会数学,运用数学。



TAG:
评论加载中...
内容:
评论者: 验证码: